Od redukce k optimalitě

| Odborný seminář KO-MIX

Zdeněk Mihula (Katedra matematiky FEL ČVUT, Praha)
V pondělí 29. března 2021, 14:20 hodin
Seminární místnost G4-MAT, 4. patro budovy G, kampus Husova (Univerzitní nám. 1410/1)
On-line na Google Meet

Google Meet: https://meet.google.com/gva-ipaj-jhe
FB událost: https://www.facebook.com/events/444526816661192
Záznam: https://www.youtube.com/watch?v=7B2vG5cD66E

KOMIX

[Pozvánka v PDF]

Abstract

Ukážeme si (jeden z mnoha příkladů), jak lze složitý, několikarozměrný problém zredukovat na ekvivalentní jednorozměrný problém. Uvážíme Sobolevovu nerovnost (resp. jednu její možnou formu), která říká, že pro každé p z intervalu [1,n), kde je přirozené číslo větší než dva, existuje kladná konstanta C (závisející na p a n) taková, že pro každou slabě diferencovatelnou funkci u z ℝn do ℝ s kompaktním nosičem platí nerovnost (1), viz obrázek.

Naznačíme si, jak lze platnost nerovnosti (1), která se týká funkcí více proměnných, zredukovat na ekvivalentní problém existence kladné konstanty C s vlnkou takové, že pro každou nezápornou (měřitelnou) funkci f na intervalu (0,∞) platí nerovnost (2), viz obrázek.

Ačkoliv jsou Lebesguovy Lp prostory velmi důležité, již desítky let se ukazuje, že škála Lebesgueových prostorů často nestačí, chceme-li zachytit jemnější integrační vlastnosti funkcí, a je proto nutné uvažovat i obecnější třídy prostorů funkcí. Zmíníme se o tzv. třídě prostorů funkcí invariantních vůči nerostoucímu přerovnání, která zaštiťuje celou řadu různých prostorů funkcí, které se objevují zejména při analýze složitých, limitních situací. Způsob, jakým zredukujeme platnost (1) na platnost (2), funguje i pro tuto obecnou třídu prostorů funkcí. Nejenom že získáme užitečné kritérium pro ověřování platnosti nerovností Sobolevova typu, ale díky této redukci budeme dokonce schopni nalézt v jistém smyslu optimální výsledky, které už nelze v daném smyslu zlepšit.

Korespondenční adresa

KMD FP TUL
Studentská 1402/2
461 17  Liberec 1

Sídlo

Budova G, 4. patro
Univerzitní nám. 1410/1
460 01  Liberec 1

Sekretariát

Dana Andrejsová
tel.: +420 48 535 2833
Budova G, místnost 4074

Další

Martin Plešinger (Tutor, Webmaster)

© Technická univerzita v Liberci, Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická, Katedra matematiky a didaktiky matematiky